从伯努利到凯利：有优势时，到底该下多大注
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上一篇说正期望只是入场券。这一篇回答：正期望就一定赚钱吗？为什么有优势还会破产？伯努利用对数效用解释“不能只看期望值”，凯利再把它变成可计算的下注比例。
1. 有正期望，只说明值得玩；下注比例决定你能玩多久。
2. 凯利公式算的是“长期增长最快”的比例，不是“满仓”的比例。
3. 参数是估的、市场有肥尾，所以实际只用分数凯利，再用风险预算压一次。
一、一个赌局：有优势，为什么全押还会破产
假设抛硬币，正面你赢 1 元，反面你输 1 元；但硬币不均匀，正面概率 60%。
每押 1 元，长期平均赚 0.2 元，期望值为正。看起来应该“有多少押多少”？
不行。因为只要出现一次反面，全押的人就归零；哪怕前面赢了十次，一次全输就结束。优势是真的，破产也是真的。
有正期望，只说明这个游戏值得玩；下注比例才决定你能玩多久、增长多快、会不会中途出局。
下注太小，复利像蜗牛；下注太大，波动和回撤会吃掉增长，甚至直接破产。
二、伯努利：期望值为什么不够
1738 年，丹尼尔·伯努利讨论了著名的圣彼得堡悖论：一个游戏的数学期望是无穷大，但几乎没人愿意花很多钱玩。为什么？
他的解释是：钱的价值不是线性的。你已经有 100 万时，再赚 1 万带来的快乐，远小于你只有 1 万时赚 1 万。财富的边际效用递减。
伯努利提出用对数效用来衡量财富：不是最大化“期望财富”，而是最大化“期望对数财富”。这个选择有一个非常重要的性质：
财富是连续相乘的：赚 10% 再亏 10%，资金变成 1.1 × 0.9 = 0.99。
取对数后：ln(1.1) + ln(0.9)，乘法变成了加法。最大化期望对数财富，等价于最大化长期几何平均增长率。
这正是几何平均的数学底层：复利看的是乘积，不是算术平均。下一篇会把几何平均本身讲透。
所以伯努利的贡献不只是“效用函数”，而是给了一个判断标准：面对重复下注，应该最大化长期几何增长，而不是单次期望收益。
三、凯利：把优势翻译成下注比例
1956 年，贝尔实验室的约翰·凯利在研究信息传输时，提出了一个公式，后来被索普带进赌场和金融市场。它回答的正是：在已知胜率和赔率时，每次该押多少比例。
f* = (b × p − q) ÷ b
f*：理论上最优的下注比例（占总资金）
p：赢的概率；q = 1 − p：输的概率；b：盈亏比（赢时赚 b 倍，输时亏 1 倍）
等赔率（b = 1）时，简化为 f* = 2p − 1。
连续收益近似下，f* ≈ 超额收益 ÷ 方差（μ ÷ σ²）。
用前面的硬币例子：p = 0.6，q = 0.4，b = 1，f* = 0.6 − 0.4 = 0.2。也就是说，每次押总资金的 20%，长期几何增长最快。
注意几个直觉：
- 优势越大，f* 越大；没有优势或负优势，f* ≤ 0，正确动作是不下注。
- 赔率越好，f* 越大；但赔率通常伴随更低胜率，不能只看一头。
- 波动越大，f* 越小；连续近似里，方差在分母上。
凯利最大化的是长期几何增长，不是单次期望收益。这和伯努利的对数效用是同一件事的两种说法。
四、一张表：为什么“满凯利”也不能满仓
还是那个 60% 赢、等赔率的游戏。假设每次押当前资金的比例 f，赢了资金乘以 (1+f)，输了乘以 (1−f)：
| 下注比例 f | 赢时资金 | 输时资金 | 每局几何增长（约） |
|---|---|---|---|
| 0% | 1.00 倍 | 1.00 倍 | 0% |
| 10% | 1.10 倍 | 0.90 倍 | +1.5% |
| 20%（凯利） | 1.20 倍 | 0.80 倍 | +2.0% |
| 30% | 1.30 倍 | 0.70 倍 | +1.5% |
| 50% | 1.50 倍 | 0.50 倍 | −3.3% |
| 100% | 2.00 倍 | 0 倍 | 破产 |
这张表说明三件事：
- 20% 是增长最快的点，超过它，收益反而下降。
- 下注 50% 时，虽然单次期望仍为正，长期几何增长已经转负。
- 100% 看似最激进，实际是必然破产。
“满凯利”指的是让长期几何增长最大的那个比例，不是把账户全押上。即便如此，满凯利的回撤也可能远超大多数人的承受范围。
所以实战里说的“满凯利”，通常只是一个理论上界。
五、为什么实战只能用分数凯利
凯利公式假设你知道真实的 p 和 b，而且赌局独立、可重复、亏损有界。市场很少满足这些条件：
- 参数是估出来的：胜率和盈亏比来自样本，本身有误差。
- 肥尾：极端行情会让实际亏损超过历史最大亏损。
- 相关性：多个仓位可能同时反向，实际风险高于单笔相加的直觉。
- 回撤承受力：满凯利的理论增长再高，账户和心理扛不住也没用。
等赔率下，真实胜率 55%，真实凯利比例是 10%。
如果你估成 60%，算出来的凯利比例是 20%——你下了真实最优比例的两倍。
参数只差 5 个百分点，风险却翻倍。这就是为什么不能把凯利当成精确答案。
常见做法是取四分之一到二分之一凯利，参数越不确定、波动越大、相关性越高，比例越往低调。满凯利只用来判断“上界在哪”，不用来直接下单。
六、从公式到下单：三步
把凯利落到交易，可以按三步走：
用足够大的样本估计胜率 p 和盈亏比 b；样本不足时，把 p 往低里估、b 往小里估。
没有正优势（f* ≤ 0），正确动作是不做，而不是“小赌一把”。
先算满凯利 f*，再乘以一个折扣系数 k（如 0.25–0.5），得到实际风险比例。
还要用账户回撤容错和单笔风险上限再压一次：f = min(k × f*, 单笔风险上限)。
风险预算 = 账户权益 × f
每手风险 = 止损距离 × 合约乘数
手数 = 风险预算 ÷ 每手风险
某策略胜率 40%，盈利时平均赚 2R，亏损时亏 1R。
f* = (2 × 0.4 − 0.6) ÷ 2 = 0.1，即满凯利要拿账户 10% 去冒一次险。
取四分之一凯利，风险比例 2.5%；这仍然偏高，再用单笔 0.5%–1% 的上限压一次。
最终按 0.5% 风险预算，结合止损距离倒推手数。凯利在这里的作用是告诉你“10% 是理论上界”，不是让你真的下 10%。
凯利公式里的“输”通常假设只亏掉下注额。期货跳空、期权卖方尾部风险，都可能让实际亏损超过止损距离。
这时要用“最坏情况亏损”代替 1R 来定仓，否则算出来的比例会偏大。
七、几个常见误解
- “有优势就应该重仓”：错。优势决定方向，比例决定生存。
- “凯利能保证赚钱”：不能。它只是在假设成立时最大化长期增长，假设不成立时同样会亏。
- “半凯利最安全”：没有固定答案。分数取决于参数可靠性、波动、相关性和回撤承受力。
- “凯利只适用于赌博”：交易和赌博的数学结构相似，但交易有相关性、流动性和尾部风险，实际要更保守。
八、三个常见问题
“凯利算出 20%，为什么实战只用 2%？”
因为公式里的 20% 是“参数完全准确、亏损只有 1R、没有跳空”时的理论上界。现实中胜率会估高、亏损可能超过 1R、几个仓位可能一起反向。2% 不是在否定凯利，而是在给它留出错的余地。
“胜率只有 40%，还能用凯利吗？”
能，只要赔率足够高。比如胜率 40%、盈亏比 3:1：f* = (3 × 0.4 − 0.6) ÷ 3 = 0.2，理论比例 20%。但低胜率意味着连续亏损更常见，实际比例要压得更低，心理上也要更能扛。
“固定 1% 风险，和凯利比哪个好？”
样本少、参数不稳时，固定 1% 更简单，也更不容易被估错带偏。样本足够、优势稳定后，再用分数凯利微调。别为了“更科学”，把一个估计误差很大的公式当成精确答案。
九、总结
1. 有正期望只说明值得做，下注比例决定能否长期活着。
2. 伯努利用对数效用说明：应最大化长期几何增长，而不是单次期望财富。
3. 凯利公式把这个思想变成 f* = (bp − q) ÷ b；等赔率时 f* = 2p − 1。
4. 满凯利是增长最快的比例，不是满仓；超过它，长期增长反而下降。
5. 参数有误差、市场有肥尾，实战用分数凯利，并再用风险预算压一次。
6. 先算上界，再打折，最后才换算成手数；顺序不能反。
理解了“该下多大注”，下一步要把标尺讲清楚：为什么伯努利和凯利追求的东西，本质上都是几何平均最大化。
“凯利公式给你的不是‘该赚多少’，而是‘押多少才不会把自己玩死’。满凯利是上界，不是目标。”