几何平均是什么：和算术平均到底差在哪
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算术平均是“加起来除以个数”，几何平均是“乘起来再开方”。听起来像数学课，但它决定你的账户长期是复利增长，还是原地打转。
1. 加法用算术平均，乘法用几何平均；收益是连续相乘的。
2. +50% 再 −50%，算术平均是 0%，实际却亏 25%。
3. 波动越大，几何平均比算术平均低得越多，这就是“波动的隐形成本”。
一、先用两个数看看区别
拿两个数：2 和 8。
算术平均：(2 + 8) ÷ 2 = 5
几何平均：√(2 × 8) = √16 = 4
同样两个数，结果不一样。不是谁算错了，而是它们回答的问题不同：
- 算术平均：把数字加起来，再平分。适合“可以相加”的东西，比如身高、分数、体重。
- 几何平均：把数字乘起来，再开方。适合“连续相乘”的东西，比如收益率、增长率、复利。
加法用算术平均，乘法用几何平均。
投资收益是连续相乘的：今年赚 50%，明年再在这个基础上算。所以它属于“乘法世界”。
二、收益率是乘法，不是加法
假设你有 100 元，第一年赚 50%，第二年亏 50%。
第一年：100 × 1.5 = 150 元。
第二年：150 × 0.5 = 75 元。
两年下来，你没有打平，而是亏了 25%。
但如果你用算术平均算收益率：
(+50% − 50%) ÷ 2 = 0%
算术平均告诉你：平均每年 0%。
可你的账户实际从 100 变成了 75，两年亏 25%。
问题出在：+50% 和 −50% 不能直接相加，因为它们是作用在不同本金上的。第一年的 50% 是按 100 算的，第二年的 −50% 是按 150 算的。
正确的算法是把它们乘起来，再开方：
几何平均 = √(1.5 × 0.5) − 1
= √0.75 − 1
≈ −13.4%
意思是：如果每年都固定亏 13.4%，两年后也会得到 75 元。
几何平均没有被“+50% 和 −50%”骗到，它直接看最后的本金变成了多少。
三、几何平均到底在回答什么问题
几何平均不是“平均每年涨多少”，而是：
如果每年都按同一个增长率增长，多少年才能达到同样的最终结果？
它算的是“平均倍率”，不是“平均加法”。
公式也很直接：
G = [(1 + r₁) × (1 + r₂) × ... × (1 + rₙ)]1/n − 1
r₁、r₂……是每一期的收益率，n 是期数。
先把每期的“财富倍数”乘起来，再开 n 次方，最后减 1。
为什么不是直接对收益率开方？因为 1.5 和 0.5 是“倍数”，不是普通数字。先把倍数乘起来，才知道本金最终变成了多少。
四、为什么几何平均通常低于算术平均
数学上有一个结论：几何平均不会高于算术平均；只有当所有数完全一样时，两者才相等。
差异来自波动。看几个例子：
| 两年收益 | 算术平均 | 几何平均 | 最终本金 |
|---|---|---|---|
| +50%、−50% | 0% | 约 −13.4% | 0.75 |
| +30%、−20% | +5% | 约 +2.0% | 1.04 |
| +10%、−10% | 0% | 约 −0.5% | 0.99 |
| +20%、+20% | +20% | +20% | 1.44 |
规律很清楚：
- 收益一正一负、波动越大，几何平均比算术平均低得越多。
- 如果每期收益完全一样，没有波动，两者相等。
- 波动本身就是一种成本，它不会出现在算术平均里，却会真实地吃掉几何平均。
+50% 和 −50% 的算术平均是 0%，看起来不赚不亏；但你的钱实际少了 25%。
只看算术平均，就像只看菜单价格不看账单。
五、算术平均什么时候有用
不是说算术平均没用。它适合“可以相加”的场景：
- 三个人的平均身高。
- 五次考试的平均分。
- 一次性下注的期望值：赢和输不会互相复利。
但账户资金是连续复利的，上一期的盈亏会成为下一期的本金。所以涉及长期财富增长时，应该看几何平均，而不是算术平均。
六、一张表分清两者
| 算术平均 | 几何平均 | |
|---|---|---|
| 怎么算 | 加起来 ÷ 个数 | 乘起来，再开 n 次方 |
| 回答什么 | 平均每个数是多少 | 平均每期增长倍率是多少 |
| 适合 | 可以相加的量 | 连续相乘的收益率 |
| 对波动 | 不敏感 | 波动越大，结果越低 |
| 交易里用来看 | 单笔期望值 | 长期复利与回撤 |
七、三个常见误区
1. “平均收益 10%，所以每年赚 10%。”不一定。波动会让实际复利低于 10%。
2. “几何平均就是把算术平均开根号。”不是。几何平均是先把数乘起来，再开方。
3. “波动只是心理感受。”波动是真实成本，它会压低几何平均，只是算术平均看不见。
八、把几何平均用到账户上
不用手算每一笔。你只需要每个月末记一次账户权益，然后用“期末 ÷ 期初”的倍数来算。
第 1 年 +20%，第 2 年 −10%，第 3 年 +5%。
最终倍数 = 1.2 × 0.9 × 1.05 = 1.134。
几何平均 = 1.1341/3 − 1 ≈ 4.3%。
算术平均 = (20% − 10% + 5%) ÷ 3 = 5%。
看起来每年“平均”赚 5%，实际复利只有 4.3%，差的那部分就是波动吃掉的。
看几何平均，至少看一年，最好看三年以上。时间越短，越容易被某一笔大赚或大亏带偏。它回答的是“我的钱实际按什么速度长大”，不是“我某一年运气多好”。
三个常见问题
“几何平均和年化收益是一回事吗？”基本是一回事，都是把一段时间的总增长折算成“每年固定增长多少”。区别只在时间区间和计算方式，口语里经常混着用。
“为什么我某一年赚了很多，几何平均还是不高？”因为几何平均看的是最终本金。前面赚 100%、后面亏 50%，最终只是回到原点，几何平均就是 0%。大赚之后的大亏，会把成果全部抹掉。
“只看几何平均就够了吗？”不够。还要看最大回撤和恢复时间。两个策略几何平均一样，一个回撤 10%、一个回撤 40%，持有体验和爆仓风险完全不同。
九、总结
1. 算术平均是加法世界，几何平均是乘法世界。
2. 收益率连续相乘，所以长期增长看几何平均。
3. 几何平均回答：每年按同一个增长率，最终能不能达到同样结果。
4. 波动越大，几何平均越低于算术平均。
5. +50% 和 −50% 的算术平均是 0%，实际却亏 25%。
6. 单笔期望值用算术平均，长期复利用几何平均。
知道几何平均是什么之后，下一篇再把它放进交易里：波动如何一点点吃掉复利，以及为什么仓位要按几何平均来定。
“算术平均告诉你‘平均每年赚多少’，几何平均告诉你‘最后账户里还剩多少’。交易要看后者。”