几何平均：为什么“平均收益”是骗人的
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10 万元，第一年赚 50%，第二年亏 40%，最后只剩 9 万；可算术平均却告诉你，这两年每年赚 5%。这就是为什么账户要看几何平均，而不是看“平均收益”。
承接上文：上一篇讲清了算术平均和几何平均的区别；这一篇把标尺放进交易里——为什么波动会持续侵蚀复利，以及凯利公式到底在最大化什么。
1. 账户看的是“最后剩多少”，不是“每年平均涨多少”。
2. 波动是隐形的税：期望一样，波动大的策略长期增长更慢。
3. 所以仓位不是越大越好，而是要让几何平均最大、回撤还能承受。
一、一个让诺贝尔奖得主困惑的问题
1952年，哈里·马科维茨发表了一篇改变金融学的论文，提出了“现代投资组合理论”，后来因此获得诺贝尔经济学奖。
但有趣的是，马科维茨本人在管理自己的退休金时，用的却是一个简单得多的方法：
“我用 50/50 的比例分配股票和债券，然后每年再平衡一次。”
为什么？因为他知道一个秘密：几何平均才是决定你真实财富增长的关键。
二、算术平均 vs 几何平均
假设你有10万元，投资两种策略：
方案A：第一年赚50%，第二年亏40%
方案B：第一年赚30%，第二年亏20%
算一算：
方案A：10万 × 1.5 × 0.6 = 9万
算术平均收益：(50% - 40%) / 2 = 5%
实际结果：亏损10%
方案B：10万 × 1.3 × 0.8 = 10.4万
算术平均收益：(30% - 20%) / 2 = 5%
实际结果：盈利4%
两种方案的算术平均收益相同，但结果完全不同。为什么？
算术平均：(r₁ + r₂ + ... + rₙ) / n
几何平均：[(1+r₁) × (1+r₂) × ... × (1+rₙ)]^(1/n) - 1
几何平均考虑了复利效应，反映资金的真实增长。
三、波动率：隐形的税收
先看两个期望相同、波动不同的策略：
| 策略 | 结果分布 | 期望 | 波动（标准差） |
|---|---|---|---|
| A | 50% 赚 2R，50% 亏 1.6R | +0.2R | 约 1.8R |
| B | 90% 赚 0.4R，10% 亏 1.6R | +0.2R | 约 0.6R |
期望一样，B 的波动小得多。方差的定义是“结果偏离期望的平均程度”，标准差是它的平方根；你不需要手算每一笔，但必须知道：两个期望相同的系统，波动大的那个更难复利。
波动对复利的影响，可以用一个近似关系表示：
几何平均 ≈ 算术平均 - (波动率² ÷ 2)
波动越大，几何平均越低！
威廉·庞德斯通在《赌神数学家》里详细讲了这段历史：波动会拖累几何平均，两个期望相同的策略，波动小的那个长期增长更快。
“波动率是几何平均的敌人。两个期望收益相同的投资，波动率较低的那个，长期来看会增长得更快。”
索普在赌场和华尔街都使用过这个原理。他的核心策略是：
- 找到正期望值的机会
- 用凯利公式算出理论上界，实际下注压到远低于它
- 控制波动率，最大化几何平均
四、伯努利和凯利，其实都在最大化几何平均
伯努利用对数效用说明：财富连续相乘时，应该最大化期望对数财富；凯利把这个思想变成了公式 f* = (bp − q) ÷ b。两者目标完全一致：最大化长期几何平均增长率。
所以凯利公式不是另一个神秘指标，而是几何平均最大化的下注解。满凯利只是理论上界；参数有误差、市场有肥尾，实战必须用分数凯利。
先记住结论：有优势不等于该重仓。下注比例过大，几何平均反而下降；满凯利只是理论上界，不是执行标准。
五、波动率如何“吃掉”你的收益
让我们用一个更极端的例子来说明：
投资10万元，第一年赚100%，第二年亏50%
算术平均收益：(100% - 50%) / 2 = 25%
实际结果：10万 × 2 × 0.5 = 10万
你一分钱没赚，但“平均收益”显示25%！
爱德华·索普在他的自传《战胜一切市场的人》中写道：
“我年轻时就意识到，赌博和投资的关键不是最大化期望收益，而是最大化几何平均增长率。这意味着要控制波动，避免大的回撤。”
六、期货交易中的实际应用
1. 仓位管理的数学基础
假设你有一个交易系统：
- 胜率：60%
- 平均盈利：2%
- 平均亏损：1%
先算几何平均——这是仓位唯一的标尺：
期望收益 E = 0.6 × 2% − 0.4 × 1% = 0.8%
E[r²] = 0.6 × (2%)² + 0.4 × (−1%)² = 0.00028
方差 σ² = E[r²] − E² = 0.00028 − 0.000064 = 0.000216
σ ≈ 1.47%
几何平均 ≈ E − σ²/2 = 0.8% − 0.0108% ≈ 0.79%
如果过度下注（比如全仓），波动率增加，几何平均可能变为负数！
2. 频繁交易的代价
很多人喜欢频繁交易，觉得“多赚少赚都是赚”。但真相是：
每次交易都有成本（手续费、滑点），这些成本会增加波动率，降低几何平均收益。
即使你每次交易都赚钱，频繁进出也可能让你的实际收益大打折扣。
一个简单的例子：
- 每次交易毛收益 1%，成本 0.1%，净收益约 0.9%
- 100 次后：1.009100 ≈ 2.45，累计约 +145%
- 若没有成本，1.01100 ≈ 2.70，累计约 +170%
- 成本只占单次 0.1%，100 次后却吃掉了约 25 个百分点的累计收益
3. 杠杆的正确使用
杠杆可以放大收益，但同样放大波动。爱德华·索普的建议：
“使用杠杆时，要确保你下注的比例小于凯利比例。通常半凯利或四分之一凯利更安全。”
原因：
- 凯利公式假设你知道精确的概率和赔率
- 现实中，这些参数是估计的，有误差
- 过度杠杆会大幅增加破产概率
4. 一个账户的完整算例
账户 10 万元，单笔风险预算 1%，即 1000 元。
合约乘数 10 元/点，止损距离 20 点，每手风险 = 20 × 10 = 200 元。
可做手数 = 1000 ÷ 200 = 5 手。
如果止损距离是 40 点，每手风险 400 元，就只能做 2 手。
同样的判断，止损越宽，手数越少；不是反过来为了多做几手，把止损放宽。
算完还要检查保证金：5 手占用的保证金，不能把账户权益吃光，否则一次反向跳空就可能触发强平。几何平均再漂亮，活不到兑现也没有意义。
七、一个实用的思考框架
下次做交易决策时，问自己这几个问题：
- 这个策略的几何平均是多少？（而不是算术平均）
- 波动率是多少？（波动越大，实际收益越低）
- 我下注的比例是多少？（是否远低于满凯利上界？）
- 如果连续亏损，我能活下来吗？（生存测试）
三个常见问题
“几何平均和最大回撤，哪个更重要？”两个都要看。几何平均告诉你长期长得多快，最大回撤告诉你中途会不会被震出局。只看前者，容易忽略生存；只看后者，容易过度保守。
“为什么账户波动大，几何平均就低？”因为亏损后要用更大的涨幅才能回本。波动越大，这种“回本摩擦”越多，长期复利被拖得越慢。这就是“波动拖累”。
“小账户怎么用这套东西？”先用固定风险（每笔 0.5%–1%），把杠杆压到自己能承受的范围。别一上来就追求“最优比例”，先保证连续亏损时还能按同样规则做下一笔。
八、总结
理解几何平均的意义，记住这几点：
1. 算术平均是骗人的：它不反映真实增长
2. 几何平均才是真相：考虑复利后的实际增长率
3. 波动是隐形成本：波动越大，实际收益越低
4. 满凯利只是上界：唯一目标是最大化几何平均，仓位刻意低于理论满仓值
5. 生存第一：确保长期存活比短期暴利更重要
最后，引用爱德华·索普的一句话：
“成功的秘密不是找到最好的投资，而是找到最适合你的投资——一个让你能长期生存并增长的投资。”